실업급여문의

안녕하십니까~저는 40대 후반의 직장인입니다. 지금 회사를 다닌지는 13개월이 됐구요~ 11월20일 구두상 해고를 당했는데 사측에서 권고사직 처리를 해주겠다고 해서 사직서에 '권고사직으로 인한 사유'로 해서 사직서를 제출했다가 퇴사 하루전날인 18년 11월 29일 금일 저녁 퇴근무렵에 사측에서 사직서 수리를 못해주겠다고 합니다. 고용수당등에 문제가 생긴다는 이유로 해서요...그래서 협의점을 찾다가 근로계약서에 임의로 근로계약기간을 넣어서 '계약기간 만료로 인한 퇴직'으로 처리하자고 하는데, 1)첫번째 궁금한점은 제가 17년 10월 10일에 입사를 했는데 계약기간을 일년으로 하면 18.10.10이되야 되는데 지금은 11월인데 이미 계약기간이 한달이 지나게 되는데 계약기간 만료가 가능한건지요? 2) 두번째 궁금한점은 또 이제와서 사측에서 이야기 하는대로 다시 근로계약서를 임의로 작성해서 근로계약기간만료로 인한 퇴사 처리를 해도 법적 문제가 없는지요?? 40대 후반에 실업급여라도 받아야 재취업할동안 살 수 가 있는데 걱정입니다.