퇴직금 받고싶은데 가능할까요?

학원에서 보조강사로 일하고 있습니다.

처음에는 알바로 짧게 할 생각이어서 사실 계약서를 따로 쓰지 않았습니다.

그런데 일한지 거의 1년이 되어가니 퇴직금이 걱정이 되어 문의드립니다.

저는 주6일 주50시간씩 일을하였고 중간에 대학원을 다니게 되면서 학기중에는 주5일 45시간을 일하고 있습니다. 계약서는 쓰지 않았고, 4대보험도 미가입이며, 학원소속이 아닌 조교선생님의 개념으로 선생님 밑으로 속해있어, 세금을 떼지 않고 통장으로 월급을 200중반으로 받고있습니다.

처음 들어올 당시 합의하였던 시간과, 월급내용이 들어있는 문자는 자동삭제기능으로인해 없어져있고, 단지 학원단톡방과, 메일로 꾸준히 담당선생님과 주고받은 자료들이 증거가 될 수 있을 것 같습니다.

이 경우 퇴직금을 받을 수 있는지 궁금합니다. 특히나 세금신고가 안되어있고 계약서가 없다는 점에서 걱정이 됩니다.